(-1)x(-1)=1 になるのは何故? - 人生戦闘詳報RX

…というネタが某マイミク氏によって出されてたなぁ。
普段当たり前のようにやってるけど、なんでそうなるのかを突然訊かれると返答に窮する。

そんなわけで、なんか高校の数学レベルのことを復習してみた。
まぁ、専門家じゃないから詳しくないし、専門用語とかわからんので平易な言葉になるけどな。

複素平面ちゅーもんを考えてみる。
複素数 $x+yi$ の値が座標 $(x,y)$ としてあらわされ、絶対値 $|x+yi|$ は原点から座標までの距離 $\sqrt{x^2+y^2}$ で表現されるアレ。
↓こんなやつ。「real」って書いてあるのが実数軸、「imag」ってのが虚数軸だな。描いてある円は、原点を中心とする単位円(半径1の円)だ。
$\picture(400,400){\color{blue}(0,200){\line(1,0){400}}(200,0){\line(0,400){0}}(200,200){\circle(200)}(310,185){1}(80,185){-1}(190,305){i}(180,85){-i}(360,185){real}(155,380){imag}(296,196){\bullet}(300,200){P_1}(196,296){\bullet}(200,300){P_2}(96,196){\bullet}(100,200){P_3}(196,96){\bullet}(200,105){P_4}(186,186){O}}$
1 という値を複素数としてあらわすと、 $1+0i$ だから、座標は図中の $P_1(1,0)$ に相当する。これに虚数 $i$ をかけてみると、
$\Large i(1+0i) = i$
となって、これは $0+i$ だから、値を複素平面上であらわすと $P_2(0,1)$ になる。
さらにこれに $i$ をかけると、 $i=\sqrt{-1}$ 、 $i^2=-1$ という定義より値は-1となり、これは $-1+0i$ だから複素平面上では $P_3(-1,0)$ だな。

# わざわざ冗長な書き方を添えてみた。

こんなふうに虚数 $i$ を一回かけるごとに、複素平面上の座標は原点を中心として90°回転する。「-1をかける」というのは「 $i$ を二回かける」のと同じなので、複素平面上で180°回転することになるわけだ。

で、-1に-1をかけた場合はどうなるかと。
-1は複素数であらわすと $-1+0i$ で、図中の $P_3(-1,0)$ だから、 $-1=i^2$ によって180°回転し、結果 $P_1(1,0)$ に戻ってくると。

…てな説明になっちまったんだが、果たしてこの説明でわかるもんだろうか?
あるいはこの説明のどこかに自己撞着がないだろうか? 今ひとつ不安よのぅ…

【追記】
$P_3(-1,0)$ すなわち $-1+0i$ に $i$ をかけた際 $0-i$ すなわち $P_4(0,-i)$ になるわけだが、これに更に $i$ をかけると $-i^2 = -(-1) = 1$ となる。もちろん計算としては正しいんだけども、「(-1)x(-1)=1になるのは何故なのか」の説明としては自己撞着的に思えんでもない…うーん…「-1をかけると複素平面上で180°回転するから」という説明で済む問題なんだろうか? 詳しい人ヘルプｗ